Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l交椭圆C于E，F两点，若存在点G（-1，y₀）使△EFG为等边三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆的通径公式，及a²=b²+c²及可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得D点坐标，根据等边三角形的性质，求得G点坐标，由丨GD丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$丨EF丨，即可取得t的值，即可求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，①由椭圆的通径丨AB丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，②
由a²=b²+c²，③
解得：a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）设直线l：x=ty+1，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
易知：t=0时，不满足，故t≠0，
则$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（t²+4）y²+2ty-7=0，
显然△=4t²+28（t²+4）＞0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{7}{{t}^{2}+4}$，
于是x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=$\frac{8}{{t}^{2}+4}$，
故EF的中点D（$\frac{4}{{t}^{2}+4}$，-$\frac{t}{{t}^{2}+4}$），
由△EFG为等边三角形，则丨GE丨=丨GF丨，
连接GD，则k_GD•k_EF=-1，
即$\frac{{y}_{0}+\frac{t}{{t}^{2}+4}}{-1-\frac{4}{{t}^{2}+4}}$=-1，整理得y₀=t+$\frac{3t}{{t}^{2}+4}$，
则G（-1，t+$\frac{3t}{{t}^{2}+4}$），
由△EFG为等比三角形，则丨GD丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$丨EF丨，丨GD丨²=$\frac{3}{4}$丨EF丨²，
∴（$\frac{4}{{t}^{2}+4}$+1）²+（t+$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$）²=$\frac{3}{4}$（1+t²）[（-$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$）2-4×（-$\frac{7}{{t}^{2}+4}$）]，
整理得：（$\frac{4}{{t}^{2}+4}$+1）²=$\frac{24{t}^{2}+84}{（{t}^{2}+4）^{2}}$，
即（$\frac{{t}^{2}+8}{{t}^{2}+4}$）²=$\frac{24{t}^{2}+84}{（{t}^{2}+4）^{2}}$，解得：t²=10，则t=±$\sqrt{10}$，
∴直线l的方程x=±$\sqrt{10}$y+1，即y=±$\frac{\sqrt{10}}{10}$（x-1）．
直线l的方程y=±$\frac{\sqrt{10}}{10}$（x-1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，等边三角形的性质公式，考查计算能力，属于中档题．