Question

18．若存在x₀∈（0，3），使不等式x₀³-12x₀+ax₀+a-7＜0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （4，8）
• B． [4，9）
• C． （-∞，4]
• D． （-∞，9）

Answer 1

分析 利用参数分离法进行转化，构造函数f（x）=$\frac{-{x}^{3}+12x+7}{x+1}$，求函数的导数，研究函数的极值和最值进行求解即可．

解答 解：若存在x₀∈（0，3），使不等式x₀³-12x₀+ax₀+a-7＜0成立，
等价为若存在x₀∈（0，3），使不等式a（x₀+1）＜-x₀³+12x₀+7成立，
即a＜$\frac{-{{x}_{0}}^{3}+12{x}_{0}+7}{{x}_{0}+1}$，
设f（x）=$\frac{-{x}^{3}+12x+7}{x+1}$，
则f′（x）=$\frac{（-3{x}^{2}+12）（x+1）-（-{x}^{3}+12x+7）}{（x+1）^{2}}$
=$\frac{-2{x}^{3}-3{x}^{2}+5}{（x+1）^{2}}$=$\frac{-2{x}^{3}+2{x}^{2}-5{x}^{2}+5}{（x+1）^{2}}$=$\frac{-2{x}^{2}（x-1）-5（{x}^{2}-1）}{（x+1）^{2}}$
=$\frac{-2（x-1）（2{x}^{2}+5x+5）}{（x+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0得-2（x-1）（2x²+5x+5）＞0，得x-1＜0，得0＜x＜1，此时函数递增，
由f′（x）＜0得-2（x-1）（2x²+5x+5）＜0，得x-1＞0，得1＜x＜3，此时函数递减，
即当x=1时，函数取得极大值，同时也是最大值f（1）=$\frac{-1+12+7}{1+1}=\frac{18}{2}$=9，
∵f（0）=7，f（3）=$\frac{-{3}^{3}+12×3+7}{3+1}$=$\frac{16}{4}$=4，
即当x∈（0，3），则4＜f（x）≤9，
要使a＜f（x），
则a＜9，
故选：D

点评 本题主要考查函数存在性问题的求解，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．