Question

16．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：5：7，点M为BC的中点，AM=$\sqrt{11}$，则AC=$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化简后设a=4k、b=5k、c=7k（k＞0），由余弦定理求出cosB的值，根据中线AM和余弦定理列出方程，求出k的值即可求出AC．

解答 解：∵sinA：sinB：sinC=4：5：7，
∴由正弦定理得，a：b：c=4：5：7，不妨设a=4k、b=5k、c=7k（k＞0），
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{16k}^{2}+49{k}^{2}-25{k}^{2}}{2×4k×7k}$=$\frac{5}{7}$，
∵点M为BC的中点，AM=$\sqrt{11}$，
∴由余弦定理得，AM²=BA²+BM²-2BA•BM•cosB，
∴11=$49{k}^{2}+4{k}^{2}-2×7k×2k×\frac{5}{7}$，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=b=$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$，
故答案为：$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，以及方程思想，属于中档题．