Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD的中点，F为PC的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且BC=CD=

1

2

AD=1．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面BEF；
（Ⅱ）若PE=

3

AE，求直线EF和平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）连结AC，交BE于点M，连结FM，由已知条件推导出PA∥FM，由此能证明PA∥面BEF．
（2）由题意得CD⊥平面PAD，所以面PDC⊥面PAD，过点E，作EH⊥PD，连结FH，则∠EFH为直线EF和平面PDC所成角，由此能求出结果．

解答： （1）证明：连结AC，交BE于点M，连结FM，
由题意得

AM

MC

=

AE

BC

=

PF

FC

=1，
∴PA∥FM，
又∵FM?平面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF．
（2）解：由题意得CD⊥平面PAD，
∴面PDC⊥面PAD，
过点E，作EH⊥PD，连结FH，
则有EH⊥平面PDC，
∴∠EFH为直线EF和平面PDC所成角，
∵BC=CD=

1

2

AD=1，∴EH=

3

2

，EF=

5

2

，
∴sin∠EFH=

EH

EF

=

15

5

．
∴直线EF和平面PDC所成角的正弦值为

15

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．