Question

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+f′（x），若g（x）≤0对一切x∈（0，2]都成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．由f′（2）=0，得a=1．经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅱ）由题设，g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x．由ax³+3（a-1）x²-6x≤0对一切x∈（0，2]都成立，令φ（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，则a≤φ（x）_min由φ′（x）=

-3(x+2)2-6

(x2+3x)2

＜0，可知φ（x）=

3x+6

x2+3x

在x∈（0，2]上单调递减，从而φ（x）_min=φ（2）=

6

5

，静儿求出a的取值范围是（-∞，

6

5

]．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=2是函数y=f（x）的极值点，
∴f′（2）=0，即6（2a-2）=0，
∴a=1．
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅱ）由题设，g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x．
ax³+3（a-1）x²-6x≤0对一切x∈（0，2]都成立，
即a≤

3x+6

x2+3x

对一切x∈（0，2]都成立．
令φ（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，则a≤φ（x）_min
由φ′（x）=

-3(x+2)2-6

(x2+3x)2

＜0，
可知φ（x）=

3x+6

x2+3x

在x∈（0，2]上单调递减，
∴φ（x）_min=φ（2）=

6

5

，
故a的取值范围是（-∞，

6

5

]．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值，最值问题，导数的应用，是一道综合题．