Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；
（2）若直线AB的斜率为2，当焦点为F（

1

2

，0）时，求△OAB的面积．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先由抛物线的方程得到其焦点坐标，设A（x₀，y₀），M（x，y），利用中点坐标公式得

x0=2x-1 y0=2y

，最后根据抛物线方程消去参数x₀，y₀，即得线段AF中点M的轨迹方程．
（2）求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出A、B两点之间的线段长以及点O到AB的距离，代入△ABO面积的表达式，求出△ABO面积即可．

解答： 解：（1）设A（x₀，y₀），M（x，y），焦点F（1，0），
则由题意

x= x0+1 2 y= y0 2

，即

x0=2x-1 y0=2y

所求的轨迹方程为4y²=4（2x-1），即y²=2x-1
（2）y²=2x，F(

1

2

，0)，直线y=2(x-

1

2

)=2x-1，
由

y2=2x y=2x-1

得，y²-y-1=0，
∴|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

5

2

，
∵d=

1

5

，
∴S△OAB=

1

2

d|AB|=

5

4

．

点评：本小题主要考查轨迹方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于中档题．