Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…P_n（a_n，b_n）（n∈N₊）都在函数y=log 

1

2

x的图象上．
（Ⅰ）若数列{b_n}是等差数列，求证：数列{an}是等比数列；
（2）若数列{b_n}的前n项和为S_n，b_n＞0（n∈N₊）且2S_n=b_n²+b_n，数列{c_n}满足c_n=2a_ncos²

π

2

π，求数列{c_n}的前n项T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设公差为d，则b_n+1-b_n=d对∈N^*恒成立，依题意an=(

1

2

)bn，数列{an}是等比数列．
（2）当n=1时，2S₁=b12+b1，b_n＞0，b₁=1．当n≥2，n∈N^*时，2Sn-1=bn-12+bn-1，由此推导出b_n=n．从而能求出数列{c_n}的前n项T_n．

解答： （1）证明：∵数列{b_n}是等差数列，
设公差为d，则b_n+1-b_n=d对∈N^*恒成立，
依题意bn=log

1

2

an，∴an=(

1

2

)bn，
∴

an+1

an

=(

1

2

)bn+1-bn=（

1

2

）^d是定值，
∴数列{an}是等比数列．
（2）解：当n=1时，2S₁=b12+b1，b_n＞0，b₁=1．
当n≥2，n∈N^*时，2Sn-1=bn-12+bn-1，
∴2Sn-2Sn-1=bn2-bn-12+b_n-b_n-1，
b_n+b_n-1=（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1），
∵b_n＞0，∴b_n-b_n-1=1，n≥2，n∈N^*，
∴数列{b_n}是首项为1公差为1的等差数列，
∴b_n=n．
由（1）知{a_n}是等比数列，且an=(

1

2

)n，
∵cn=2ancos2

n

2

π=a_n（cosnπ+1）=an(1)n+1=（-

1

2

）ⁿ+（

1

2

）ⁿ，
Tn=

2

3

+

1

3

(-

1

2

)n-(

1

2

)n．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．