Question

11．设f（θ）=$\frac{{2{{cos}^3}θ+{{sin}^2}（2π-θ）+sin（\frac{π}{2}+θ）-3}}{{2+2{{cos}^2}（π+θ）+cos（-θ）}}$．
（1）化简 f（θ）
（2）求f（$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用同角三角函数的基本关系式化简求值；
（2）把$θ=\frac{π}{3}$代入（1）的化简结果求得答案．

解答 解：（1）$f（θ）=\frac{{2{{cos}^3}θ+{{sin}^2}θ+cosθ-3}}{{2+2{{cos}^2}θ+cosθ}}=\frac{{2{{cos}^3}θ+1-{{cos}^2}θ+cosθ-3}}{{2+2{{cos}^2}θ+cosθ}}$
=$\frac{{2{{cos}^3}θ-2-（{{cos}^2}θ-cosθ）}}{{2+2{{cos}^2}θ+cosθ}}=\frac{{2（{{cos}^3}θ-1）-cosθ（cosθ-1）}}{{2+2{{cos}^2}θ+cosθ}}$
=$\frac{{2（cosθ-1）（{{cos}^2}θ+cosθ+1）-cosθ（cosθ-1）}}{{2+2{{cos}^2}θ+cosθ}}$
=$\frac{{（cosθ-1）（2{{cos}^2}θ+cosθ+2）}}{{2+2{{cos}^2}θ+cosθ}}=cosθ-1$；
（2）$f（\frac{π}{3}）=cos\frac{π}{3}-1=-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题．