Question

3．（1）用分析法证明不等式：$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$＞$\sqrt{7}$+2；
（2）用综合法证明不等式：若a+b+c=1，则ab+bc+ac≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）将不等式两边平方寻找使不等式成立的条件即可；
（2）利用均值不等式得出a²+b²+c²≥ab+bc+ca，将a+b+c=1平方得出a²+b²+c²=1-2ab-2ac-2bc，代入a²+b²+c²≥ab+bc+ca即可得出结论．

解答 证明：（1）要证$\sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{7}+2$，
只需证${（\sqrt{6}+\sqrt{5}）^2}＞{（\sqrt{7}+2）^2}$．即证 $11+2\sqrt{30}＞11+4\sqrt{7}$．
只需证$\sqrt{30}＞2\sqrt{7}$，只需证 30＞28．
而 30＞28显然成立，
∴$\sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{7}+2$成立．
（2）∵a²+b²=2ab，b²+c²=2bc，c²+a²≥2ca．
∴2（a²+b²+c² ）≥2（ab+bc+ca），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
∵a+b+c=1，∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1
即a²+b²+c²=1-2ab-2ac-2bc，
∴1-2ab-2ac-2bc≥ab+bc+ac，
∴ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了证明方法与不等式的证明，属于中档题．