Question

14．若AB为过椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的中心的弦，F₁为椭圆的左焦点，则△F₁AB面积的最大值12．

Answer 1

分析 由题意画出图形，数形结合可知，当过椭圆中心O的直线为y轴上时，△F₁AB面积的最大，由此求得△F₁AB面积的最大值．

解答 解：如图，

由图可知，当过椭圆中心O的直线为y轴上时，△F₁AB面积的最大，
由$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得a=5，b=4，则c=3．
∴${S}_{△A{F}_{1}B}={S}_{△O{F}_{1}B}+{S}_{△O{F}_{1}A}$=$\frac{1}{2}|O{F}_{1}|（|OA|+|OB|）=\frac{1}{2}×3×8=12$．
故答案为：12．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．