Question

5．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，请你根据这一发现，则函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$的对称中心为（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，1）$
• B． $（-\frac{1}{2}，1）$
• C． $（\frac{1}{2}，-1）$
• D． $（-\frac{1}{2}，-1）$

Answer 1

分析 先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．

解答 解：依题意，得：f′（x）=x²-x+3，
∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=$\frac{1}{2}$，
又 f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴函数f（x）的对称中心为（$\frac{1}{2}$，1），
故选：A．

点评 本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．