Question

8．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a²-c²=ac-bc，则角A的大小及$\frac{bsinB}{c}$的值分别为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{π}{6}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 a，b，c成等比数列，可得b²=ac．已知a²-c²=ac-bc，可得b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可得A，再利用正弦定理即可得出$\frac{bsinB}{c}$的值．

解答 解：a，b，c成等比数列，∴b²=ac．
∵a²-c²=ac-bc，∴a²-c²=b²-bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴sinB=$\frac{bsinA}{a}$，
∴$\frac{bsinB}{c}$=$\frac{{b}^{2}sinA}{ac}$=sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．