Question

20．利用数学归纳法证明不等式：
$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．

解答 证明：（1）当n=1时，左边=$\frac{1}{2}$，右边=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，左边＜右边，不等式成立，
（2）∵4n²-1＜4n²，即（2n+1）（2n-1）＜（2n）²．即$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{2n}{2n+1}$，
∴$\frac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{2k+2}}$＜$\frac{\sqrt{2k+2}}{\sqrt{2k+3}}$，
∴$\frac{\sqrt{2k+1}}{2（k+1）}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$，
假设当n=k时，原式成立，即$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×…×$\frac{2k-1}{2k}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$，
那么当n=k+1时，即$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×…×$\frac{2k-1}{2k}$×$\frac{2k+1}{2（k+1）}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$=$\frac{\sqrt{2k+1}}{2（k+1）}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$，
即n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立．

点评 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．