Question

15．求下列积分：
（1）${∫}_{1}^{3}（|x-2|+\frac{1}{{x}^{2}}）$dx；
（2）${∫}_{1}^{2}\frac{1}{x（x+1）}dx$．

Answer 1

分析 （1）去绝对值，${∫}_{1}^{3}（|x-2|+\frac{1}{{x}^{2}}）$dx=${∫}_{1}^{2}$（2-x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）dx+${∫}_{2}^{3}$（x-2+$\frac{1}{{x}^{2}}$）dx分别积分即可，
（2）采取列项，再根据定积分的计算法则计算即可．

解答 解：（1）：${∫}_{1}^{3}（|x-2|+\frac{1}{{x}^{2}}）$dx=${∫}_{1}^{2}$（2-x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）dx+${∫}_{2}^{3}$（x-2+$\frac{1}{{x}^{2}}$）dx=（2x-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$）|${\;}_{1}^{2}$+（-2x+$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$）|${\;}_{2}^{3}$=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$
（2）${∫}_{1}^{2}\frac{1}{x（x+1）}dx$=${∫}_{1}^{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$）dx=[lnx-ln（x+1）]|${\;}_{1}^{2}$=ln2-ln3-ln1+ln2=-ln3．

点评 本题考查了定积分的计算，关键是转化，属于基础题．