Question

7．给出下列五种说法：
（1）函数y=a^x（a＞0，a≠1）与函数y=x²的定义域相同；
（2）函数y=$\sqrt{x}$与函数y=lnx的值域相同；
（3）函数y=log₃（x²-2x-3）的单调增区间是[1，+∞）；
（4）函数y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$与y=$\frac{{{{（1+{2^x}）}^2}}}{{x•{2^x}}}$都是奇函数；
（5）记函数f（x）=x-[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.2]=3，[-2.3]=-3），则f（x）的值域是[0，1）．其中所有正确的序号是（1）（4）（5）．

Answer 1

分析 根据函数的定义和性质分别进行判断即可．

解答 解：（1）函数y=a^x（a＞0，a≠1）与函数y=x²的定义域相同都是（-∞，+∞）；故（1）正确，
（2）函数y=$\sqrt{x}$的值域为[0，+∞），函数y=lnx的值域为（-∞，+∞），两个函数的值域不相同；故（2）错误，
（3）当x=1时，x²-2x-3=1-2-3=-4＜0，此时函数y=log₃（x²-2x-3）无意义，故（3）错误；
（4）函数y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，
则f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{{2}^{x}+1}{1-{2}^{x}}$=-f（x），则函数为奇函数，
函数y=$\frac{{{{（1+{2^x}）}^2}}}{{x•{2^x}}}$，g（-x）=$\frac{（1+{2}^{-x}）^{2}}{-x•{2}^{-x}}$=-$\frac{{{{（1+{2^x}）}^2}}}{{x•{2^x}}}$=-g（x），
则g（x）为奇函数，则（4）正确；
（5）记函数f（x）=x-[x]，
则当x为整数时，f（x）=0，当x不是整数时，f（x）∈（0，1），
即f（x）的值域是[0，1），则（5）正确，
故答案为：（1）（4）（5）

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大．