Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（-sin$\frac{x}{2}$，cos$\frac{x}{2}$），x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$；
（2）求函数f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算公式和三角函数恒等变换化简；
（2）利用三角函数的单调性列出不等式解出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos2x．
（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=2+2cos2x=2+2（1-2sin²x）=4-4sin²x=4cos²x．
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2cosx．
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-cos$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=sinx．
（2）f（x）=2sinx+2cosx=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{4}+2kπ$．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）的单调增期间为[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的化简求值，属于基础题．