Question

11．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．

解答 解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．
∵AD=1，∴a²+b²=1．
$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+$\sqrt{4{a}^{2}+4{b}^{2}}$sin（θ+φ）=4+2sin（θ+φ）．
∴$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$的最大值是4+2=6．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．