Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差数列，已知a₁=1，$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+$\frac{{S}_{4}}{4}$=12．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，a_n+1+$\frac{16}{{a}_{n}}$≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可知{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项，$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，从而求得S_n=$\frac{1}{2}$n（3n-1），从而求{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n+1+$\frac{16}{{a}_{n}}$=3n+1+$\frac{16}{3n-2}$=3n-2+$\frac{16}{3n-2}$+3，从而利用基本不等式求最值，化恒成立问题为最值问题即可．

解答 解：（1）∵{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差数列，且$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+$\frac{{S}_{4}}{4}$=12，
∴3$\frac{{S}_{3}}{3}$=12，
∴$\frac{{S}_{3}}{3}$=4，
又∵$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
∴{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项，$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，
故$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3n-1}{2}$，
故S_n=$\frac{1}{2}$n（3n-1），
故数列{a_n}是以1为首项，3为公差的等差数列，
故a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）由（1）知，
a_n+1+$\frac{16}{{a}_{n}}$=3n+1+$\frac{16}{3n-2}$=3n-2+$\frac{16}{3n-2}$+3
≥2$\sqrt{16}$+3=11，
（当且仅当3n-2=$\frac{16}{3n-2}$，即n=2时，等号成立）；
故若对任意的n∈N^*，a_n+1+$\frac{16}{{a}_{n}}$≥λ恒成立，
则11≥λ，
即λ≤11．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了基本不等式的应用及恒成立问题．