如图,设椭圆:
的离心率
,顶点
的距离为
,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的射线,与椭圆
分别交于
两点.
(ⅰ)试判断点到直线
的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由;
(ⅱ)求的最小值.
(1);(2)(ⅰ)
;(ⅱ)
.
解析试题分析:(1)利用离心率可得,
关系.由两个顶点距离可得
,
距离,由此结合
可求得
,
的值,从而求得椭圆的标准方程;(2)分直线
的斜率不存在与存在两种情况求解.当直线
的斜率不存在时,情况特殊,易求解;当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
与椭圆方程联立消去
得到关于
的一元二次方程,然后结合韦达定理与
,以及点到直线的距离公式求解;(3)在
中,利用
=
与
,结合基本不等式求解.
试题解析:(1)由,得
,
由顶点的距离为
,得
,
又由,解得
,所以椭圆C的方程为
.
(2)解:(ⅰ)点到直线
的距离为定值.
设,
① 当直线AB的斜率不存在时,则为等腰直角三角形,不妨设直线
:
,
将代入
,解得
,
所以点到直线
的距离为
;
② 当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
与椭圆
:
,
联立消去得
,
,
.
因为,所以
,
,
即,
所以,整理得
,
所以点到直线
的距离
=
.
综上可知点到直线
的距离为定值
.
(ⅱ)在中,因为
=
又因为≤
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已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围。
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已知圆,直线
与圆
相切,且交椭圆
于
两点,c是椭圆的半焦距,
.
(1)求m的值;
(2)O为坐标原点,若,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的条件下,设椭圆的左右顶点分别为A,B,动点
,直线
与直线
分别交于M,N两点,求线段MN的长度的最小值.
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如图,点P(0,-1)是椭圆C1:=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
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已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线方程为l:x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.
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已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:
=1(a>b>0)的离心率e=
,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证:两条切线的斜率之积为定值.
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设直线l:x-y+m=0与抛物线C:y2=4x交于不同两点A,B,F为抛物线的焦点.
(1)求△ABF的重心G的轨迹方程;
(2)如果m=-2,求△ABF的外接圆的方程.
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已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-,点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M,N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求证,A,D,N三点共线.
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