Question

9．在△ABC中，B=60°，b=2，求该三角形周长的取值范围．

Answer 1

分析 由正弦定理可求c=2sinC，a=2sinA，设周长为y，利用三角函数恒等变换的应用化简得y=4sin（A+$\frac{π}{6}$）+2，可求范围$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的性质可求取值范围．

解答 解：∵$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，----（7分）
设周长为y，则y=a+c+b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）+2
=2$\sqrt{3}$sinA+2cosA+2，----（8分）
=4sin（A+$\frac{π}{6}$）+2，-------（9分）
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴y=4sin（A+$\frac{π}{6}$）+2∈（4，6]．
∴周长的取值范围是（4，6]．-------（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．