【题目】已知椭圆
的中心在原点，离心率等于
，它的一个短轴端点恰好是抛物线
的焦点
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知
、
是椭圆上的两点， 
， 
是椭圆上位于直线
两侧的动点.①若直线
的斜率为
，求四边形
面积的最大值；
②当
， 
运动时，满足
,试问直线
的斜率是否为定值，请说明理由
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析: (1)由椭圆的离心率及短轴端点坐标求出
,得到椭圆方程; (2)①设
设直线AB方程为
，联立直线与椭圆方程,消去
,得到一个关于
的二次方程,求出
,再求出
,代入三角形面积公式,求出最大值; ②由
得到直线
斜率之和为0，设直线
斜率为
,则直线
斜率为
,直线
方程为
,代入椭圆方程中,求出
的表达式,同理求出
的表达式,再求出
的值,代入直线
的斜率计算公式中,结果为定值.
试题解析:（1）
∴
∴
又 
∴
∴ 椭圆方程为
（2）①设 
， 
设
方程 
代入化简 
， 
又
、
当
时， 
最大为
②当
时， 
、
斜率之和为
.
设
斜率为
，则
斜率为
设 代入化简 同理 ∴ 直线 点睛:本题主要考查了椭圆的标准方程及性质,直线与椭圆相交问题,一元二次方程根与系数关系,斜率的计算公式,考查了推理与计算能力, 属于难题.
方程
， 
的斜率为定值
同步奥数系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为
．现有
件产品，其中
件是一等品， 
件是二等品．
（Ⅰ）随机选取
件产品，设至少有一件通过检测为事件
，求事件
的概率；
（Ⅱ）随机选取
件产品，其中一等品的件数记为
，求的分布列及数学期望
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某单位职工义务献血，在体检合格的人中， 
型血的共有28人， 
型血的共有7人， 
型血的共有9人， 
型血的有3人．
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨，现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为
，后2天均为
，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨.
(1)求至少有1天需要人工降雨的概率；
(2)求不需要人工降雨的天数
的分布列和期望.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知向量 
=（cosωx，sinωx）， 
=（cosωx， 
cosωx），其中ω＞0，设函数f（x）= ．
（1）若函数f（x）的最小正周期是π，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的图象的一个对称中心的横坐标为 
，求ω的最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设函数
， 
（
）.
（Ⅰ）求函数
的单调增区间；
（Ⅱ）当
时，记
，是否存在整数
，使得关于
的不等式
有解？若存在，请求出
的最小值；若不存在，请说明理由.
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