Question

【题目】设函数，其中，曲线过点，且在点处的切线方程为.

1）求， 的值；

2）证明：当时， ；

3）若当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（I）根据题意，将点 代入函数 ，对函数求导，将点 代入求解即可.

（II）设 ，对 求导得，对求导得，根据的正负性得出的增减性，根据的正负性得出的增减性，得出结论。

（III）设 ，对 求导得，根据（II）的结论得出，并求得 ，分情况讨论 和，求出 的取值范围即可.

试题解析：（1） ，

，

（2），

设， ，

， 在上单调递增，

， 在上单调递增， ，

.

（3）设， ，

由（2）中知， ，

，

当，即时， ， 在单调递增， ，成立.

当，即时， ，

，令，得，

当时， ， 在上单调递减， ，不成立，

综上， .