Question

6．给出下列四个命题：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜$\frac{π}{2}$；
③已知扇形的半径为R，面积为2R²，则这个扇形的圆心角的弧度数为4；
④f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则$f（-\frac{π}{6}）=-\sqrt{3}$．
其中真命题的序号为②③④．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函数在[0，1]上单调递减，结合$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，可知0＜cosθ＜sinθ＜1，从而可判断（1）
（2）由锐角α，β满足cosα＞sinβ可得sin（$\frac{1}{2}π-α$）＞sinβ，则有$\frac{1}{2}π-α＞β$，则可判断（2）
（3）由扇形的面积公式和弧度数公式进行求解判断
（4）根据函数奇偶性的性质，故可判断（4）

解答 解：（1）由函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，可得函数在[0，1]上单调递减，
由$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，可得0＜cosθ＜sinθ＜1，则f（sinθ）＜f（cosθ），故①错误
（2）由锐角α，β满足cosα＞sinβ可得sin（$\frac{1}{2}π-α$）＞sinβ，则有$\frac{1}{2}π-α＞β$即$α+β＜\frac{π}{2}$，故②正确
（3）设扇形的弧长为l，则扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lR=2R²，即l=4R，
则这个扇形的圆心角的弧度数α=$\frac{l}{R}$=4，故③正确，
（4）∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，
∴f（-$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{6}$）=-（sin$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{6}$）=-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$，故④正确，
故答案为：②③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．