Question

已知椭圆中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长与短半轴长之和为1+

5

，离心率为

2 5

5

．   
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若C（l，0），过B（-1，0）作直线l交椭圆于M，N两点，且

CM

•

CN

=2，求△MNC的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根据椭圆长半轴长与短半轴长之和为1+

5

，离心率为

2 5

5

，建立方程组，求出a，b，即可得出椭圆的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，根据

CM

•

CN

=2，利用向量的数量积公式．利用韦达定理求出k，利亚△MNC的面积为

1

2

•2|y₁-y₂|，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵椭圆长半轴长与短半轴长之和为1+

5

，离心率为

2 5

5

，
∴

a+b=1+ 5 a2-b2 a2 = 4 5

，
∴a=

5

，b=1，
∴椭圆的方程为

x2

5

+y2=1；
（Ⅱ）设 M（x₁，y₁）、N （x₂，y₂），则
直线l斜率不存在时，x=-1代入椭圆方程，可得M（-1，

2 5

5

），N（-1，-

2 5

5

），
∴

CM

•

CN

=（-2，

2 5

5

）•（-2，-

2 5

5

）=4-

4

5

≠2；
直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y并化简整理（1+5k²）x²+10k²x+5k²-5=0，
∴x₁+x₂=-

10k2

1+5k2

，x₁x₂=

5k2-5

1+5k2

，
∵C（l，0），
∴

CM

•

CN

=（x₁-1，y₁）•N （x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²=2，
∴（1+k²）•

5k2-5

1+5k2

+（k²-1）（-

10k2

1+5k2

）+1+k²=2，
∴k=±1，
∴x₁+x₂=-

10k2

1+5k2

=-

5

3

，x₁x₂=

5k2-5

1+5k2

=0，
∴|y₁-y₂|=|k||x₁-x₂|=

5

3

，
∴△MNC的面积为

1

2

•2|y₁-y₂|=

5

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．