Question

13．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$（n∈N^*），则a₂₀₁₅=$\frac{1}{2015}$．

Answer 1

分析 由$\frac{2}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$，得$\frac{1}{{a}_{n}+2}-\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}+1}-\frac{1}{{a}_{n}}$，求出{ $\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列．又$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，d=1，求出a_n=$\frac{1}{n}$，则答案可求．

解答 解：由$\frac{2}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$，得$\frac{1}{{a}_{n}+2}-\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}+1}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴{ $\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列．又$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，d=$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴a₂₀₁₅=$\frac{1}{2015}$．
故答案为：$\frac{1}{2015}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列递推式，是基础题．