Question

2．已知椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，-$\frac{1}{2}$），则l的方程为x-2y-3=0．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1．相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1．
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=-1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，代入上式可得：$\frac{2}{4}$-$\frac{k}{2}$=0，解得k=1．
∴直线l的方程为：y+$\frac{1}{2}$=x-1，化为：x-2y-3=0．
故答案为：x-2y-3=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．