Question

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$c=2，C=\frac{π}{3}$．
（1）若$a=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求A；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得：$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$，解得sinA=$\frac{1}{2}$，又a＜c，则A为锐角，解得A．
（2）sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a，又2²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，解得a，b．可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$．

解答 解：（1）由正弦定理可得：$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$，解得sinA=$\frac{1}{2}$，又a＜c，则A为锐角，A∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a，又2²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$sin\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．