Question

已知抛物线x²=8（y+8）与y轴交点为M，动点P，Q在抛物线上滑动，且

MP

•

MQ

=0
（1）求PQ中点R的轨迹方程W；
（2）点A，B，C，D在W上，A，D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到AB，AC的距离为d₁，d₂，且d₁+d₂=

2

|AD|，证明：△ABC为直角三角形．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线MP：y=kx-8，联立抛物线方程，求出P的坐标，同理求出Q的坐标，由中点坐标公式求出R，再消去k，即可得到R的轨迹方程；
（2）求出y=

x2

4

的导数y′=

x

2

，设出D，C，B的坐标，求出BC的斜率，运用平行的条件：斜率相等，从而推出AC，AB的斜率互为相反数，则∠DAC=∠DAB，d₁=d₂又d1+d2=

2

|AD|，则∠DAC=∠DAB=45°，故得证．

解答： （1）解：显然直线MP的斜率存在且不为0，设为k，
设PQ的中点R（x，y）
∴直线MP：y=kx-8
与x²=8（y+8）联立解得：P（8k，8k²-8）
同理：Q(-

8

k

，

8

k2

-8)
∴PQ的中点R(4k-

4

k

，4k2+

4

k2

-8)
∴

x=4k- 4 k y=4k2+ 4 k2 -8

，
∴轨迹方程：x²=4y；
（2）证明：由y=

x2

4

得：y′=

x

2

，
设D(x0，

x02

4

)，C(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)
则A(-x0，

x02

4

)∴kBC=

1

4

(x1+x2)=

1

2

x0，
∴x₁+x₂=2x₀∴B(2x0-x1，

1

4

(2x0-x1)2)
∴kAC=

1

4

(x1-x0)
又kAB=

1

4

(x0-x1)则k_AC=-k_AB
则∠DAC=∠DAB∴d₁=d₂
又d1+d2=

2

|AD|
则∠DAC=∠DAB=45°
∴△ABC为直角三角形．

点评：本题考查轨迹方程的求法：参数法，考查运用导数求切线的斜率，两直线平行的条件，运用平面几何的知识从而判断三角形的形状，属于中档题．