Question

（2010•抚州模拟）在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，将该矩形沿对角线AC折成直二面角D-AC-B，则四面体ABCD的外接球的体积为

125π

6

．

Answer 1

分析：矩形ABCD中，由AB=4，BC=3，DB=AC=5，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O 因此球半径R=

AC

2

=2.5，由此能求出四面体ABCD的外接球的体积．

解答：解：矩形ABCD中，
∵AB=4，BC=3，
∴DB=AC=5，
设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，
球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，
也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O
因此球半径R=

AC

2

=2.5，
四面体ABCD的外接球的体积：
V=

4

3

×π×（2.5）³=

125π

6

．
故答案为：

125π

6

．

点评：本题考查四面体ABCD的外接球的体积的计算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．