Question

10．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为：（x-1）²+y²=1以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l₁的极坐标方程是2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{3}$=0，直线l₂：θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）与曲线C交于O、P两点，与直线l₁的交于点Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，利用曲线C的直角坐标方程能求出曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，得点P的极坐标为P（1，$\frac{π}{3}$），由$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，得Q的极坐标为Q（-3，$\frac{π}{3}$），由此能求出线段PQ的长．

解答 解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，
曲线C的方程为：（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．    …（4分）
（Ⅱ）∵直线l₁的极坐标方程是2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{3}$=0，
直线l₂：θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）与曲线C交于O、P两点，
设P（ρ₁，θ₁），则由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得${ρ}_{1}=1，{θ}_{1}=\frac{π}{3}$．
即点P的极坐标为P（1，$\frac{π}{3}$）．…（6分）
设Q（ρ₂，θ₂），则有$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得${ρ}_{2}=-3，{θ}_{2}=\frac{π}{3}$，…（9分）
即点Q的极坐标为Q（-3，$\frac{π}{3}$），
所以线段PQ的长|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=4．…（10分）

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，涉及到极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．