Question

15．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6海里，渔船乙以5 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中使用余弦定理计算BC，从而得出渔船甲的速度；
（2）在△ABC中，使用正弦定理计算∠BCA，从而得出sinα．

解答 解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=6，AC=5×2=10，∠BCA=α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠BAC
=6²+10²-2×6×10×cos120°=196．
解得BC=14，所以渔船甲的速度为$\frac{BC}{2}=7$海里/小时．
答：渔船甲的速度为7海里/小时．
（2）在△ABC中，因为AB=6，∠BAC=120°，BC=14，∠BCA=α，
由正弦定理，得$\frac{AB}{sinα}=\frac{BC}{sin120°}$．
即$sinα=\frac{ABsin120°}{BC}=\frac{{6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{14}=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．
答：sinα的值为$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．

点评 本题考查了正余弦定理在三角形中的实际应用，属于中档题．