Question

19．（1）设（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，求下列各式的值．
（Ⅰ）a₀
（Ⅱ）（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²
（Ⅲ）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|
（2）求（1+2x-x²）⁵展开式中x⁴的系数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用赋值法，令x=0，即可得a₀的值．
（Ⅱ）利用赋值法，令x=1，即可得a₀+a₁+a₂+…+a₁₀的值．由（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²平方差公式化简可得答案．
（Ⅲ）根据二项式系数的和为2ⁿ，即|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|=2¹⁰
（2）由（1+2x-x²）⁵=[2-（x-1）²]⁵通项公式求解即可．

解答 解：（1）（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
（Ⅰ）令x=0，可得1=a₀
即a₀的值为1．x
（Ⅱ）令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0值．
由（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²平=（a₀+a₁+a₂+…+a₁₀）（a₀-a₁+a₂-…+a₁₀）=0；
（Ⅲ）二项式系数的和为2ⁿ，即|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|=2¹⁰=1024
（2）由（1+2x-x²）⁵=[2-（x-1）²]⁵
由通项公式${{T}_{r+1}=C}_{5}^{r}（-1）^{r}（2）^{5-r}（x-1）^{2r}$，r≤5．
再由（x-1）^2r展开式中含有x⁴，
则有${C}_{2r}^{t}{x}^{2r-t}（-1）^{t}$．
可得：2r-t=4，且2r≥t．
当r=2，t=0时，足题意，可得x⁴的系数为${C}_{5}^{2}{2}^{3}=80$
当r=3，t=2时，满足题意，可得x⁴的系数为${-C}_{5}^{3}{{2}^{2}C}_{6}^{2}=-600$
当r=4，t=4时，满足题意，可得x⁴的系数为$C\frac{4}{5}{2}^{1}{C}_{8}^{4}=700$
当r=5，t=6时，满足题意，可得x⁴的系数为${C}_{5}^{5}（-1）^{5}{2}^{0}{C}_{10}^{6}$=-210．
展开式中x⁴的系数合并，可得x⁴的系数-30．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，三项式转化为二项式利用通项讨论x⁴的系数，属于中档题．