Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=0，a₂=p（p是不等于0的常数），S_n为数列{a_n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S_n=$\frac{n{a}_{n}}{2}$，则数列{a_n}通项为a_n=p（n-1）．．

Answer 1

分析 由条件得S_n+1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$，与条件式相减得出递推式，从而得出{$\frac{{a}_{n+1}}{n}$}是常数列，得出通项，再验证n=1的情况即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{n{a}_{n}}{2}$，∴S_n+1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$，
两式相减得：a_n+1=$\frac{n+1}{2}$a_n+1-$\frac{n}{2}{a}_{n}$，
∴$\frac{n-1}{2}$a_n+1=$\frac{n}{2}{a}_{n}$，
∴当n≥2时，$\frac{{a}_{n+1}}{n}$=$\frac{{a}_{n}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{2}}{1}$=p，
∴a_n=p（n-1）．
显然n=1时，上式也成立．
∴对一切n∈N⁺，a_n=p（n-1）．
故答案为：a_n=p（n-1）．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，属于中档题．