Question

18．已知函数f（x）=x（x-m）²在x=2处有极大值．
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f′（2）=0解出m，再进行验证x=2是否为极大值点即可；
（2）求出f（x）的单调性和极值，即可得出a的范围．

解答 解：（1）f'（x）=3x²-4mx+m²，由已知f'（2）=12-8m+m²=0，
∴m=2，或m=6，当m=2时，f'（x）=3x²-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴f（x）在$x∈（{\frac{2}{3}，2}）$上单调递减，在x∈（2，+∞）上单调递增，
∴f（x）在x=2处有极小值，不符合题意，舍去．
∴m=6．
（2）由（1）知f（x）=x³-12x²+36x，f′（x）=3x²-24x+36，
且f（x）的另一个极值点为6，
∴f（x）在x∈（-∞，2）上单调递增，在x∈（2，6）上单调递减，在x∈（6，+∞）上单调递增，
当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=32，
当x=6时，f（x）取得极小值f（6）=0，
∵方程f（x）=a有三个不同的实根，
∴0＜a＜32．

点评 本题考查了导数与函数单调性、极值的关系，属于中档题．