Question

20．下列命题正确的是（　　）

• A． 定义在（a，b）上的函数f（x），若存在x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），那么f（x）在（a，b）上为增函数
• B． 定义在（a，b）上的函数f（x），若有无穷多对x₁，x₂∈（a，b）使得x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），那么f（x）在（a，b）上为增函数
• C． 若f（x）在区间I₁上为增函数，在区间I₂上也为增函数，那么f（x）在I₁∪I₂上也一定为增函数
• D． 若f（x）在区间I上为增函数，且f（x₁）＜f（x₂），（x₁，x₂∈I），那么x₁＜x₂

Answer 1

分析 对于A，比如函数y=sinx（0＜x＜π），若$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，则sin$\frac{π}{6}$＜sin$\frac{π}{3}$，即可判断；
对于B，比如函数y=sinx（0＜x＜π），在（0，$\frac{π}{2}$）上有无穷多对x₁，x₂∈（0，π）使得x₁＜x₂时，
有f（x₁）＜f（x₂），即可判断B；
对于C，比如函数y=-$\frac{1}{x}$在区间（-∞，0）和（0，+∞）上均为递增函数，即可判断；
对于D，运用增函数的定义，即可判断．

解答 解：对于A．比如函数y=sinx（0＜x＜π），若$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，则sin$\frac{π}{6}$＜sin$\frac{π}{3}$，但函数y=sinx在（0，π）不为增函数，故A错误；
对于B．比如函数y=sinx（0＜x＜π），在（0，$\frac{π}{2}$）上有无穷多对x₁，x₂∈（0，π）使得x₁＜x₂时，有f（x₁）
＜f（x₂），但函数y=sinx在（0，π）不为增函数，故B错误；
对于C．比如函数y=-$\frac{1}{x}$在区间（-∞，0）和（0，+∞）上均为递增函数，但在（-∞，0）∪（0，+∞）上
不是递增函数，比如x₁=-1，x₂=1，则f（x₁）＞f（x₂），故C错误；
对于D．若f（x）在区间I上为增函数，且f（x₁）＜f（x₂），（x₁，x₂∈I），由增函数的定义可得
x₁＜x₂，故D正确．
故选D．

点评 本题考查函数的单调性的判断，主要考查单调增函数的定义，注意定义中任意性和都有等关键词语，属于基础题和易错题．