Question

9．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（λcosα，λsinα），$\overrightarrow{OB}$=（-sinβ，cosβ），其中O为坐标原点．
（1）若λ=-1且β=α-$\frac{π}{6}$，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值；
（2）若β=α-$\frac{π}{6}$，求向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角；
（3）若|$\overrightarrow{AB}$|≥2|$\overrightarrow{OB}$|对任意实数α、β都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的坐标，再利用两个向量的数量积公式、两角和差的正弦公式，计算$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，可得结果．
（2）由（1）可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$，计算cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$的值，可得向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞的值．
（3）由|$\overrightarrow{AB}$|≥2|$\overrightarrow{OB}$|恒成立，化简可得sin（β-α）≥$\frac{3{-λ}^{2}}{2λ}$恒成立，故有$\frac{3{-λ}^{2}}{2λ}$≤-1，即 $\frac{（λ-3）（λ+1）}{2λ}$≥0，再用穿根法求得λ的范围．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{OA}$=（λcosα，λsinα），$\overrightarrow{OB}$=（-sinβ，cosβ），λ=-1且β=α-$\frac{π}{6}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=sinβcosα-sinαcosβ=sin（β-α）=sin（-$\frac{π}{6}$）=-sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{1}{2}$．
（2）由β=α-$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=1，
可得cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{1×1}$=-$\frac{1}{2}$，∴向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=120°．
（3）由题意可得，$\overrightarrow{AB}$=（-sinβ-λcosα，cosβ-λsinα），∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{（-sinβ-λcosα）}^{2}{+（cosβ-λsinα）}^{2}}$，
故由|$\overrightarrow{AB}$|≥2|$\overrightarrow{OB}$|恒成立，可得 $\sqrt{{（-sinβ-λcosα）}^{2}{+（cosβ-λsinα）}^{2}}$≥2，化简可得sin（β-α）≥$\frac{3{-λ}^{2}}{2λ}$恒成立，
故有$\frac{3{-λ}^{2}}{2λ}$≤-1，即 $\frac{（λ-3）（λ+1）}{2λ}$≥0，用穿根法求得-1≤λ＜0或λ≥3．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两角和差的正弦公式，两个向量的数量积公式，函数的恒成立问题，以及分式不等式的解法，属于中档题．