Question

已知

a

，

b

，

c

满足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，|

c

-

a

-

b

|=1，则|

c

|的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，由此可求向量的夹角，如图所示，建立直角坐标系．作

OA

=

a

，

OB

=

b

．设C（x，y），A（

3

，0），B（

3

2

，

3

2

），利用向量的坐标运算及其数量积的性质与已知|

c

-

a

-

b

|=1，可得x，y的等式，再利用点与圆的位置关系、两点间的距离公式即可得出．

解答： 解：∵向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，∴cos＜

a

，

b

＞=

3 2

3 × 3

=

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=60°，
如图所示，建立直角坐标系．
作

OA

=

a

，

OB

=

b

．设C（x，y），A（

3

，0），B（

3

2

，

3

2

），
∴

c

-

a

-

b

=（x-

3 3

2

，y-

3

2

）．
∵|

c

-

a

-

b

|=1，
∴（x-

3 3

2

）²+（y-

3

2

）²=1，
∴|

c

|的最大值为=|OM|+r=

( 3 3 2 )2+( 3 2 )2

+1=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了向量的坐标运算及其数量积的性质、点与圆的位置关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力．