Question

1．已知各项为正数的等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=6，${a}_{3}^{2}$=a₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_nb_n=n，数列{b_n}前n项和为T_n．若（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=6}\\{（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}={a}_{1}{q}^{4}}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）由a_nb_n=n可得b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，从而利用错位相减法求T_n，从而化恒成立问题为最值问题．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
则$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=6}\\{（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}={a}_{1}{q}^{4}}\end{array}\right.$，
解得，a₁=1，q=2，
故a_n=a₁•q^n-1=2^n-1；
（2）∵a_nb_n=n，∴b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，2T_n=2+2+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-2}}$，
∴T_n=2+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$
=2+$\frac{1（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∵（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切正整数n恒成立，
∴（-1）ⁿλ＜4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$对一切正整数n恒成立，
∵4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$随着n的增大而增大，
且4-$\frac{1}{{2}^{-1}}$=2，4-1=3，
故-λ＜2且λ＜3，
故-2＜λ＜3．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及等差数列与等比数列的性质的判断与应用，属于中档题．