Question

2．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线与圆x²+y²=a²切于点P，|PF₂|=3|PF₁|，则该双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 设|PF₁|=t，可得|PF₂|=3|PF₁|=3t，运用直角三角形的勾股定理可得t=b，再在△PF₁F₂中，由余弦定理可得|PF₁|²=a²+c²-2accos∠POF₁，|PF₂|²=a²+c²-2accos∠POF₂，两式相加，结合诱导公式，以及离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设|PF₁|=t，可得|PF₂|=3|PF₁|=3t，
由OP⊥PF₁，可得|OP|²+|PF₁|²=|OF₁|²，
即a²+t²=c²，
可得t=b，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得
|PF₁|²=a²+c²-2accos∠POF₁，
|PF₂|²=a²+c²-2accos∠POF₂，
两式相加可得b²+9b²=2a²+2c²-2ac（cos∠POF₁+cos∠POF₂）
=2a²+2c²，
即有a²+c²=5b²=5（c²-a²），
即为6a2=4c2，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆的性质，以及余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．