Question

7．已知直线x-$\sqrt{3}$y+2=0过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由直线x-$\sqrt{3}$y+2=0过（-2，0），可得c=2，即a²+b²=4，求出渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，解方程可得a=1，进而得到双曲线的实轴长2a．

解答 解：直线x-$\sqrt{3}$y+2=0过（-2，0），
由题意可得c=2，即a²+b²=4，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
则双曲线的实轴为2．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．