Question

17．已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a²+b²=6abcosC，且${sin^2}C=2\sqrt{3}sinAsinB$．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）设函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）+cosωx_{\;}^{\;}（ω＞0）$，图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a²+b²=6abcosC，结合余弦定理可求$cosC=\frac{c^2}{4ab}$，又sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB，根据由正弦定理得：c²=2$\sqrt{3}$ab，从而可求cosC，即可解得C的值．
（Ⅱ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）+cosωx=\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）$，由题意，利用周期公式即可求ω，可得$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$，由$C=\frac{π}{6}$，$B=\frac{5π}{6}-A$，A，B为锐角，可得范围$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，求得范围$π＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为a²+b²=6abcosC，由余弦定理知a²+b²=c²+2abcosC，
所以$cosC=\frac{c^2}{4ab}$…（2分）
又因为sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB，则由正弦定理得：c²=2$\sqrt{3}$ab，…（4分）
所以cosC=$\frac{{c}^{2}}{4ab}$=$\frac{2\sqrt{3}ab}{4ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以C=$\frac{π}{6}$．…（6分）
（Ⅱ）因为$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）+cosωx=\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）$，
由已知$\frac{2π}{ω}$=π，ω=2，
则$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$，…（9分）
因为$C=\frac{π}{6}$，$B=\frac{5π}{6}-A$，
由于0$＜A＜\frac{π}{2}$，0$＜B＜\frac{π}{2}$，
所以$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$．
所以$π＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
所以$-\frac{3}{2}＜f（A）＜0$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．