Question

8．在直角坐标系中，定义两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
现有以下命题：
①若A，B是x轴上两点，则d（A，B）=|x₁-x₂|；
②已知点A（1，2），点B（cos²θ，sin²θ），则d（A，B）为定值；
③已知点A（2，1），点B在圆x²+y²=1上，则d（A，B）的取值范围是（3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$）；
④若|AB|表示A，B两点间的距离，那么|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（A，B）．
其中真命题的是①②④（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 根据距离公式判断①④，根据三角函数的性质判断②③．

解答 解：①当A，B是x轴上两点时，y₁=y₂=0，d（A，B）=|x₁-x₂|显然成立，∴①对；
②由x∈[0，1]得，d（A，B）=|1-cos²θ|+|2-sin²θ|=1-cos²θ+2-sin²θ=2为定值，∴②对；
③由条件得$d（A，B）=|{2-cosθ}|+|{1-sinθ}|=3-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴$d（A，B）∈[{3-\sqrt{2}，3+\sqrt{2}}]$，∴③不对；
④由条件知${|{AB}|^2}=（{x_1}-{x_2}{）^2}+{（{y_1}-{y_2}）^2}≥\frac{1}{2}{（|{{x_1}-{x_2}}|+|{{y_1}-{y_2}}|）^2}$，
∴$|{AB}|=≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}（|{{x_1}-{x_2}}|+|{{y_1}-{y_2}}|）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}d（A，B）$，∴④对；
故答案为：①②④．

点评 本题考查了两点间距离公式的应用，考查三角函数问题，是一道中档题．