Question

19．已知sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，且α为三角形一内角，则cos（α+$\frac{π}{6}$）的值等于$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$．

Answer 1

分析 由α的范围求出α+$\frac{π}{3}$的范围，由平方关系和三角函数值的范围求出cos（α+$\frac{π}{3}$），利用两角差的余弦公式分别求出cos（α+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：由sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$得，cos（α+$\frac{π}{3}$）=±$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
因为0＜α＜π，所以$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
所以cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则cos（α+$\frac{π}{6}$）=cos[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]
=cos（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$，
故答案为：$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$．

点评 本题考查同角三角函数的平方关系，两角差的余弦公式的灵活应用，注意三角函数值的范围以及角之间的关系．