Question

13．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、N分别为边BC，CD上的动点，且MN=2，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值是（　　）

• A． 13
• B． 15
• C． 17
• D． 19

Answer 1

分析 建立坐标系，设CM=x，则CN=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，求出M，N的坐标，得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$关于x的函数f（x），求出f（x）的最小值即可．

解答 解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，
设CM=x，则CN=$\sqrt{M{N}^{2}-{x}^{2}}=\sqrt{4-{x}^{2}}$（0≤x≤2）．
∴M（3，4-x，）N（3-$\sqrt{4-{x}^{2}}$，4）．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=3（3-$\sqrt{4-{x}^{2}}$）+4（4-x）=25-4x-3$\sqrt{4-{x}^{2}}$．
令f（x）=25-4x-3$\sqrt{4-{x}^{2}}$，则f′（x）=-4+$\frac{3x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$．
令f′（x）=0，解得x=$\frac{8}{5}$．
当0≤x$＜\frac{8}{5}$时，f′（x）＜0，当$\frac{8}{5}＜x$＜2时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{8}{5}$）上单调递减，在（$\frac{8}{5}$，2）上单调递增，
∵f（0）=19，f（$\frac{8}{5}$）=15，f（2）=17．
∴f_min（x）=f（$\frac{8}{5}$）=15．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，函数的单调性与最值，属于中档题．