Question

4．已知数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=npⁿ+a_n（0＜|p|＜1）．
（1）求a_n；
（2）求证：|a_n|＜$\frac{|p|}{（1-|p|）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，利用累加法结合错位相减法求得a_n；
（2）根据p的范围，直接利用放缩法证明数列不等式．

解答 （1）解：由a_n+1=npⁿ+a_n，得${a}_{n+1}-{a}_{n}=n{p}^{n}$，
∴${a}_{2}-{a}_{1}=1×{p}^{1}$，${a}_{3}-{a}_{2}=2×{p}^{2}$，${a}_{4}-{a}_{3}=3×{p}^{3}$，…${a}_{n}-{a}_{n-1}=（n-1）{p}^{n-1}$，
累加得：${a}_{n}=1×{p}^{1}+2×{p}^{2}+…+（n-1）{p}^{n-1}$，
则$p{a}_{n}=1×{p}^{2}+2×{p}^{3}+…+（n-1）{p}^{n}$，
两式作差可得：$（1-p）{a}_{n}=p+{p}^{2}+…+{p}^{n-1}-（n-1）{p}^{n}$=$\frac{p（1-{p}^{n-1}）}{1-p}-（n-1）{p}^{n}$，
则${a}_{n}=\frac{p（1-{p}^{n-1}）}{（1-p）^{2}}-\frac{（n-1）{p}^{n}}{1-p}$；
（2）证明：|a_n|=|$\frac{p（1-{p}^{n-1}）}{（1-p）^{2}}-\frac{（n-1）{p}^{n}}{1-p}$|＜|$\frac{p（1-{p}^{n-1}）}{（1-p）^{2}}$|=|$\frac{p}{（1-p）^{2}}$||$\frac{1-{p}^{n-1}}{（1-p）^{2}}$|
＜|$\frac{p}{（1-p）^{2}}$|=$\frac{|p|}{|（1-p）^{2}|}$≤$\frac{|p|}{（1-|p|）^{2}}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的和，考查利用放缩法证明数列不等式，是中档题．