Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n（S_n≠0），a₁=$\frac{1}{2}$，且对任意正整数n，都有a_n+1+S_nS_n+1=0，则a₁+a₂₀=（　　）

• A． $\frac{209}{420}$
• B． $\frac{19}{21}$
• C． $\frac{23}{42}$
• D． $\frac{13}{42}$

Answer 1

分析 由a_n+1+S_nS_n+1=0可得S_n+1-S_n+S_nS_n+1=0，从而证明数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，从而解得．

解答 解：∵a_n+1+S_nS_n+1=0，
∴S_n+1-S_n+S_nS_n+1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，
故数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=n+1，
故S_n=$\frac{1}{n+1}$，
故a₁+a₂₀=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{21}$-$\frac{1}{20}$=$\frac{209}{420}$，
故选：A．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及构造法的应用，属于中档题．