Question

7．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-λ，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₁+b₂+b₃=9．
（1）求λ的值，并求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{{S}_{n}+1}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$，设数列{c_n}的前n项和为T_n，证明T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=2ⁿ-1．c_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：由等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-λ，
可得：a₁=2-λ，a₁+a₂=2²-λ，a₁+a₂+a₃=2³-λ，
解得：a₁=2-λ，a₂=2，a₃=4，
∴公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=2，∴2=2×（2-λ），解得λ=1．
∴a₁=1，a_n=2^n-1．
∵设等差数列{b_n}的公差为d，∵b₁=a₁，b₁+b₂+b₃=9．
∴b₁=1，3+3d=9，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）证明：由（1）可得：S_n=2ⁿ-1．
c_n=$\frac{{S}_{n}+1}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1．
∴T_n＜1．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．