Question

12．函数f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$+sin（2x+$\frac{π}{6}$），由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]和三角函数区间的最值可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$+sin$\frac{π}{6}$cos2x+cos$\frac{π}{6}$sin2x=$\frac{1}{2}$+sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴原函数的最大值为$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数区间的最值，属基础题．