Question

18．考察下列等式：
cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$=a₁+b₁i，
（cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$）²=a₂+b₂i，
（cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$）³=a₃+b₃i，
…
（cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$）ⁿ=a_n+b_ni，
其中i为虚数单位，a_n，b_n（n∈N^*）均为实数，由归纳可得，a₂₀₁₅+b₂₀₁₅的值为0．

Answer 1

分析 先求出$（cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4}）^{2}=i$将原式修改为$（i）^{1007}•（cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4}）$，再分别求出a₂₀₁₅、b₂₀₁₅，再求和．

解答 解：由$（cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4}）^{2}$=i
$（cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4}）^{2015}$=$[（cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4}）^{2}]^{1007}•（cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4}）$
=${i}^{1007}（\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i）$
=$-i（\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i）$
=$-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$，
∴${b}_{2015}=\frac{\sqrt{2}}{2}$${a}_{2015}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a₂₀₁₅+b₂₀₁₅=0，
故答案为：0．

点评 本题考查，复数的性质和归纳推理的内容，属于中档题．