Question

2．对于两个平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，定义它们的一种运算：$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ（其中θ为向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角），则关于这种运算的以下结论中，不恒成立的是（　　）

• A． $\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$
• B． 若$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow{b}$
• C． （$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$
• D． 若$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），则$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|x₁y₂-x₂y₁|

Answer 1

分析 对于选项A，根据$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$运算的定义容易判断出选项A恒成立；
对于选项B，讨论$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是否为$\overrightarrow{0}$：$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$都不为$\overrightarrow{0}$时，便可得出sinθ=0，从而得到θ=0，或π，从而得出$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，而$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$中有一个为$\overrightarrow{0}$时，显然$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$成立，从而判断出B恒成立；
对于选项C，可设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，而$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线，这样即可说明该选项不恒成立；
对于选项D，根据$\overrightarrow{a}?\overrightarrow{b}$运算的定义即可得到$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$，而$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，带入化简，并带入$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}，|\overrightarrow{b}|=\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$便可以说明该选项恒成立，这样即可得出正确选项．

解答 解：A．∵$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|sinθ$，θ表示向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角；
$\overrightarrow{a}?\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|sinθ=|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}|sinθ=\overrightarrow{b}?\overrightarrow{a}$，∴该选项恒成立；
B．①当$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}≠\overrightarrow{0}$时，$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|sinθ=0$时，sinθ=0；
∴θ=0，或π；
∴$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$；
②当$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$，或$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$时，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$恒成立；
∴该选项恒成立；
C．当$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{b}$时，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$?$\overrightarrow{c}=0$，$\overrightarrow{a}?\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}?\overrightarrow{c}=2$；
∴该选项不恒成立；
D.$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sinθ=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}$
=$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}）^{2}}=|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|$，∴该选项恒成立．
故选：C．

点评 考查对新运算$\overrightarrow{a}?\overrightarrow{b}$的理解和运用，向量夹角的概念，向量平行的概念，举反例的方法说明结论不恒成立，以及向量夹角的余弦公式，根据向量坐标求向量长度，完全平方公式的运用．